Riemannův n-rozměrný integrál

Elementární výklad doplněný o příklady bude podán na přednášce.

Uzavřeným \(n\)-rozměrným obdélnı́kem v \(% \mathbb{R}^{n}\) budeme rozumět množinu \(\left\langle a^{1},b^{1}\right\rangle \ \times \ldots \times \left\langle a^{n},b^{n}\right\rangle\), kde vždy

\[a^{i}<b^{i},~\forall i\in \{1,\ldots ,n\}.\]

Otevřeným \(n\)-rozměrným obdélnı́kem v \(% \mathbb{R}^{n}\) budeme rozumět množinu \(\left( a^{1},b^{1}\right) \ \times \ldots \times \left( a^{n},b^{n}\right)\)

\[a^{i}<b^{i},~\forall i\in \{1,\ldots ,n\}.\]

Pokud je jedno zdali je obdélnı́k uzavřený resp. otevřen ý, mluvı́me pouze o obdélnı́ı́ku.

Je-li \(A\) obdélnı́k jakéhokoli typu, definujeme objem obdélnı́ku \(A\) jako čı́slo \(Vol\) \(\left( A\right)\) dané vztahem:

\[Vol\left( A\right) =\left( b^{1}-a^{1}\right) \ldots \left( b^{n}-a^{n}\right) . \label{eq 6}\]

Obdélnı́k \(A\) nazýváme krychlı́, má-li obdélnı́k všechny hrany stejně dlouhé, tj.

\[b^{1}-a^{1}=b^{2}-a^{2}=\ldots =b^{n}-a^{n}.\]

Je-li \(\left\langle a,b\right\rangle\) \(\subset \mathbb{R}\) uzavřený interval, pak dělenı́m intervalu \(\left\langle a,b\right\rangle\) rozumı́me konečnou posloupnost \(P=\left( a_{0},\ldots ,a_{k}\right)\) bodů splňujı́cı́ch podmı́nky:

\[a=a_{0}<a_{1}<\ldots <a_{k}=b.\]

Každý interval \(\left\langle a_{i-1},a_{i}\right\rangle\) pro \(% i=1,\ldots ,k\) nazýváme dı́lčı́m intervalem dělenı́ \(P\). Podobně, je-li \(A=\left\langle a^{1},b^{1}\right\rangle \times \ldots \times \left\langle a^{n},b^{n}\right\rangle\) uzavřeným obdélnı́kem, potom dělenı́m obdélnı́ku \(A\) je n-tice dělenı́ \(% P=\left( P_{1},\ldots ,P_{n}\right)\), kde každé \(P_{i}\) je dělenı́m přı́slušného intervalu \(\left\langle a^{i},b^{i}\right\rangle\). Každý obdélnı́k \(I_{1}\times \ldots \times I_{n}\), kde \(I_{j}\) je dı́lčı́ interval dělenı́ \(P_{j}\) nazýváme dı́lčı́m obdélnı́kem dělenı́ \(P\). Je zřejmé, že je-li \(P\) jakékoli dělenı́ obdélnı́ku \(A\) v \(\mathbb{R}^{n}\), pak lze \(A\) vyjádřit jako sjednocenı́ dı́lčı́ch obdélnı́ků dělenı́ \(P\). Dále průnik různých dı́lčı́ch obdélnı́ků dělenı́ \(P\) obsahuje pouze body jejich hranice. Předpokládejme, že \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) je uzavřeným obdélnı́kem a \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) je na \(A\) omezenou reálnou funkcı́. Pro libovolné dělenı́ \(P\) kvádru \(A\) definujeme dolnı́ resp. hornı́ integrá lnı́ součet funkce \(f\) vzhledem k dělenı́ \(P\) vztahy

\[L\left( f,P\right) =\sum_{j}\left( \inf_{R_{j}}f\right) \cdot Vol\left( R_{j}\right) ,\]

\[U\left( f,P\right) =\sum_{j}\left( \sup_{R_{j}}f\right) \cdot Vol\left( R_{j}\right) ,\]

zde sčı́táme přes všechny dı́lčı́ obdélnı́ky \(R_{j}\) dělenı́ \(P\) . Poznamenejme, že zřejmě pro každé dělenı́ \(P\) je \(L\left( f,P\right) \leq U\left( f,P\right)\) . Jak ukazuje následujı́cı́ tvrzenı́, platı́ dokonce vı́c.

Lemma. Nechť \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) je uzavřený obdélnı́k v \(\mathbb{R}^{n}\) a nechť \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) je na \(A\) omezená funkce. Pro každou dvojici dělenı́ \(P\) a \(P^{\prime }\) obdélnı́ku \(A\) pak platı́ \[ L\left( f,P\right) \leq U(f,P% %TCIMACRO{\U{b4}}% %BeginExpansion {\acute{}}% %EndExpansion ). \]

Položme \(P=\left( P_{1},\ldots ,P_{n}\right)\) a \(P^{\prime}=(P_{1}^{\prime }, \ldots ,P_{n}^{\prime })\). Nynı́ uvažujeme dělenı́ \(Q\) obdélnı́ku \(A\) dané vztahem: \[ Q=\left( P_{1}\cup P_{1}^{\prime },\ldots ,P_{n}\cup P_{n}^{\prime }\right) . \] Nynı́ je každý dı́lčı́ obdélnı́k dělenı́ \(P\) resp. \(P^{\prime }\) sjednocenı́m konečného počtu d ı́lčı́ch obdélnı́ků dělenı́ \(Q\) a pak \[ L\left( f,P\right) \leq L\left( f,Q\right) \leq U\left( f,Q\right) \leq U\left( f,P^{\prime }\right) . \]

Cvičení Podrobněji odůvodněte nerovnosti uvedené v předchozı́m důkazu Lemmatu 27

Definice. Dolnı́ integrál funkce \(f\) přes \(A\) definujeme jako čı́slo: \[ \underline{\int_{A}}fdV=\sup \left\{ L\left( f,P\right) :P\text{ je dělení obdélníku }A\right\}. \] Podobně hornı́ integrál funkce \(f\) přes \(A\) definujeme vztahem: \[ \overline{\int_{A}}fdV=\inf \left\{ U\left( f,P\right) :P\text{ je dělení obdélníku }A\right\} . \]

Poznámka. Protože funkce \(f\) je na množině \(A\) omezená, obě čı́sla \(\underline{\int_{A}}fdV,\) \( \overline{\int_{A}}fdV \) existujı́ v \(\mathbb{R}\) a navı́c platı́: \[ \underline{\int_{A}}fdV\leq \overline{\int_{A}}fdV. \label{eq 7} \]

Definice. Je-li \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) uzavřený obdélnı́k v \(\mathbb{R}^{n}\) a \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) je na \(A\) omezenou funkcı́, pak řekneme, že \(f\) je na \(A\) Riemannovsky integrabilnı́, platı́-li ve vztahu ([eq 7]) rovnost. Společnou hodnotu dolnı́ho a hornı́ho integrálu znač ı́me \[\int_{A}fdV\] a nazýváme Riemannovým integrálem funkce \(f\) přes obdélnı́k \(A\). V přı́padě, že \(A\subset \mathbb{R}^{2}\), pak často pı́šeme \(dA\) mı́sto \(dV\). Jiná alternativnı́ označenı́ tohoto integrálu vypadajı́ takto: \[\int_{A}f,~\int_{A}f~dx^{1}\ldots dx^{n},~\int fdx,\] \[\text{kde }x=\left( x^{1},\ldots ,x^{n}\right) ,\] \[\int_{A}f\left( x^{1},\ldots ,x^{n}\right) dx^{1}\ldots dx^{n}.\]

Definice. Řı́káme, že množina \(X\subseteq \mathbb{R}% ^{n}\) má mı́ru nula, jestliže pro každé \(\delta >0\) existuje posloupnost \(\left( C_{i}\right) _{i=1}^{\infty }\) otevřených obdélnı́ků \(C_{i}\) tak, že \[X\subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty }C_{i}\text{ }\] a zároveň je \[\sum_{i=1}^{\infty }Vol\left( C_{i}\right) <\delta .\]

Věta. (Vlastnosti množin mı́ry nula). a) Jestliže \(X\subseteq \mathbb{R}^{n}\) má mı́ru nula a \(% x_{0}\in \mathbb{R}^{n}\), pak i množina \(x_{0}+X=\left\{ x_{0}+a:a\in X\right\}\) má mı́ru nula.
b) Podmnožina množiny mı́ry nula má též mı́ru nula.
c) Je-li \(\left( X_{i}\right) _{i=1}^{\infty }\), posloupnost podmonožin \(% \mathbb{R}^{n}\) mı́ry nula, pak \(X=\cup _{i=1}^{\infty }X_{i}\) má tak é mı́ru nula.
d) Je-li \(k<n\), pak každá podmnožina v \(\mathbb{R}^{k}\) (chápána jako množina bodů \(x\in \mathbb{R}^{n}\) pro nı́ž je \(% x^{k+1}=x^{k+2}=\ldots x^{n}=0\)) má mı́ru nula.

Cvičení. Dokažte Větu [thm 33].

Poznámka. Tvrzenı́ (d) ukazuje, že je důležité vůči jakému prostoru určujeme mı́ru dané množiny. Proto, pokud chceme zdůzaznit, že množina \(X\) má mı́ru nula jakožto množina v \(\mathbb{R}^{n}\), řı́káme, že množina \(X\) má nulovou n-rozměrnou m mı́ru.

Věta. (Lebesgueovo kritérium integrability). Nechť \(% A\subseteq \mathbb{R}^{n}\) je uzavřeným obdélnı́kem v \(% \mathbb{R}^{n}\) a \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) je na \(A\) omezenou funkcı́ . Jestliže má množina \[ S=\left\{ x\in A:f\text{ není v }x\text{ spojitá }\right\} \] mı́ru nula, potom je funkce \(f\) Riemannovsky integrabilnı́ přes obdélnı́k \(A\).

Předchozı́ věta ve skutečnosti dává nejen postačujı́cı́, ale i nutnou podmı́nku Riemannovské integrtability.

Definice. (Rozšı́řenı́ integračnı́ho oboru) Předpokládejme, že \(D\subseteq \mathbb{R}^{n}\) je libovolná omezená množina a \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) je na \(D\) omezenou funkcı́. Dále definujme funkci \[ f_{D}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} f\left( x\right) & \text{pro} & x\in D \\ 0 & \text{pro} & x\notin D.% \end{array}% \right. \] Existuje-li pak integrál \[\int_{A}f_{D}dV\] pro nějaký uzavřený obdélnı́k \(A\) takový, že \(D\subset A\), potom řı́káme, že funkce \(f\) je (Riemannovsky) integrabilnı́ na množině \(D\). Výše uvedený integrál pak budeme značit symbolem \[\int_{D}fdV\] a nazývat integrálem funkce \(f\) přes množinu \(D\).

Cvičení. Ukažte, že definice integrálu \(\int_{D}fdV\) (Definice [def 37]) nezávisı́ na volbě obdélnı́ka \(A\) obsahujı́cı́ho množinu \(D\).

Poznámka. V praxi je důležité umět integrovat spojité omezené funkce přes obecnějšı́ množiny v \(\mathbb{R}% ^{n}\) než jsou obdélnı́ky. To představuje integrovat funkce \(% f_{D}\), které jsou nespojité. Lebesgueovo kritérium (Věta [thm 35]) nám umožnı́ nalézt popis integračnı́ch oborů \(D\) na nichž je každá omezená spojitá funkce Riemannovsky integrabilnı́.

Věta. Předpokládejme, že \(D\subset \mathbb{R}^{n}\) je omezená množina, jejı́ž hranice \(\partial D\) má \(n\)-rozm ěrnou mı́ru nula. Potom je každá omezená a spojitá funkce na \(D\) Riemannovsky integrabilnı́ přes množinu \(D\).

Definice. Množina \(D\subset \mathbb{R}^{n}\), která je omezená a jejı́ž hranice \(\partial D\) má \(n\)-rozměrnou mı́ru nula se nazývá Jordanovsky měřitelnou množinou a čı́slo \[\mu _{J}\left( D\right) =\int_{D}1dV \label{eq 8}\] nazveme Jordanovou mı́rou množiny \(D\). Integrál na pravé straně pı́šeme zkráceně: \[\int_{D}dV.\]

Věta. (Vlastnosti Jordanovy mı́ry). Nechť \(D\subset \mathbb{R}^{n}\) je Jordanovsky měřitelnou množinou. (a) Je-li \(D\) otevřený nebo uzavřený obdélnı́k, pak \[\mu _{J}\left( D\right) =Vol\left( D\right) ,\] (tedy definice vztahy ([eq 6]) a ([eq 8]) splývajı́.) (b) \(\mu _{J}\left( D\right) \geq 0\) a rovnost platı́ právě tehdy, když má \(D\) mı́ru nula. (c) (\(\mu _{J}\) je konečně subaditivnı́.) Jsou-li množiny \(% D_{1}\),...,\(D_{k}\) Jordanovsky měřitelné a \(D=\cup _{j=1}^{k}D_{j}\), pak \[\mu _{J}\left( D\right) \leq \mu _{J}\left( D_{1}\right) +\cdots +\mu _{J}\left( D_{k}\right) .\] Rovnost platı́ právě tehdy, když \(D_{i}\cap D_{j}\) má \(n\) -rozměrnou mı́ru nula kdykoliv je \(i\neq j\). (d) Je-li \(D_{1}\) Jordanovsky měřitelná množina a \(% D_{1}\subset D\), pak je \(\mu _{J}\left( D_{1}\right) \leq \mu _{J}\left( D\right) ,\) přičemž rovnost platı́ právě tehdy, kdy ž má množina \(D\setminus D_{1}\) \(n\)-rozměrnou mı́ru nula.

(Vlastnosti Riemannova integrálu). Nechť \(% D\subset \mathbb{R}^{n}\) je Jordanovsky měřitelná množina a nechť \(f,g:D\rightarrow \mathbb{R}\) jsou na \(D\) omezené funkce. (a) Pro každé \(\alpha\),\(\beta \in \mathbb{R}\), \[\int_{D}\left( \alpha f+\beta g\right) dV=\alpha \int_{D}fdV+\beta \int_{D}gdV.\] (b) Má-li množina \(D\) mı́ru nula, pak \[\int_{D}fdV=0.\] (c) Jsou-li množiny \(D_{1}\),…,\(D_{k}\) Jordanovsky měřitelnými množinami a \(D=\cup _{j=1}^{k}D_{j}\), přičemž mno žina \(D_{i}\cap D_{j}\) má \(n\)-rozměrnou mı́ru nula kdykoliv \(% i\neq j\), potom \[\int_{D}fdV=\int_{D_{1}}fdV+\ldots +\int_{D_{k}}fdV.\] (d) Je-li \(f\geq 0\) na \(D\), potom \[\int_{D}fdV\geq 0\] a rovnost platı́ právě, když \(f=0\) na \(Int\left( D\right)\). (e) \[\left( \inf_{D}f\right) \mu _{J}\left( D\right) \leq \int_{D}fdV\leq \left( \sup_{D}f\right) \mu _{J}\left( D\right) .\] (f) \[\left\vert \int_{D}fdV\right\vert \leq \int_{D}\left\vert f\right\vert dV.\]

Než přikročı́me k formulaci důležité Fubiniovy v ěty, která dává návod jak převést výpoč et množného integrálu na výpočet jednorozměrného Riemannova integrálu, ukážeme si jednu speciálnı́ situaci ilustrujı́cı́ myšlenku stojı́cı́ za touto vě tou.

Uvažujme kladnou spojitou funkci \[f:\langle a,b\rangle \times \langle c,d\rangle \rightarrow \mathbb{R}^{+}.\] Dále uvažujme dělenı́ intervalu \(\langle a,b\rangle\): \(% a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\) a rozdělme obdélnı́k \(\langle a,b\rangle \times \langle c,d\rangle\) pruhy ohraničenými úsečkami \(\{t_{i}\}\times \langle c,d\rangle\) jak je vidět na obrázku:

Pokud definujeme funkci \(g_{x}\left( y\right) =f\left( x,y\right)\) , potom je mı́ra obrazce pod grafem funkce \(f\) nad úsečkou \(% \{x\}\times \langle c,d\rangle\) dána vztahem \[A\left( x\right) =\int_{c}^{d}g_{x}\left( y\right) dy=\int_{c}^{d}f\left( x,y\right) dy.\] Pak je dále objem tělesa pod grafem funkce \(f\) nad obdélnı́kem \(\langle t_{i-1},t_{i}\rangle \times \langle c,d\rangle\) přibliž ně roven součinu \[\left( t_{i}-t_{i-1}\right) \int_{c}^{d}f\left( x,y\right) dy\] pro jakékoli pevné \(x\in \langle t_{i-1},t_{i}\rangle\). Odtud má me: \[\begin{aligned} \int_{\langle a,b\rangle \times \langle c,d\rangle }fdV &=&\sum_{i=1}^{n}\int_{\langle t_{i-1},t_{i}\rangle \times \langle c,d\rangle }fdV\approx \sum_{i=1}^{n}\left( t_{i}-t_{i-1}\right) \int_{c}^{d}f\left( x_{i},y\right) dy, \\ x_{i} &\in &\langle t_{i-1},t_{i}\rangle .\end{aligned}\] Poslednı́ suma je vlastně Riemannův integrálnı́ součet objevujı́cı́ se v definici integrálu \[\int_{a}^{b}\left( \int_{c}^{d}f\left( x,y\right) dy\right) dx.\] Pokud definujeme tedy funkci \(f:\langle a,b\rangle \rightarrow R\) předpisem: \[h\left( x\right) =\int_{c}^{d}g_{x}\left( y\right) dy=\int_{c}^{d}f\left( x,y\right) dy\] a pokud \(h\) je integrabilnı́ na intervalu \(\langle a,b\rangle\), pak se zdá oprávněné, že má platit: \[\int_{\langle a,b\rangle \times \langle c,d\rangle }fdV=\int_{a}^{b}h\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}\left( \int_{c}^{d}f\left( x,y\right) dy\right) dx.\] Jak se ukazuje, tak uvedená rovnost platı́ v přı́padě, kdy je funkce \(f\) spojitá. Nicméně v obecném přı́padě nastávajı́ těžkosti. Napřı́klad, pokud je množina bodů nespojitosti rovna úsečce \(\{x_{0}\}\times \langle c,d\rangle\) pro nějaké \(x_{0}\in \langle a,b\rangle\), pak je funkce \(f\) na obdélnı́ku \(\langle a,b\rangle \times \langle c,d\rangle\) integrabilnı́, ale funkčnı́ hodnota \(h\left( x_{0}\right) =\int_{c}^{d}f\left( x_{0},y\right) dy\) nemusı́ být definována.

Lemma. Omezená funkce \(f:A\rightarrow R\) je integrabilnı́ na obdélnı́ku \(A\), právě když pro každé \(%\varepsilon >0\) existuje dělenı́ \(P\) obdélnı́ku \(A\) takov é, že \[U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) <\varepsilon .\]

Cvičení. Dokažte předchozı́ Lemma [lem 46].

Věta. (G. Fubini). Nechť \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) a \(% B\subset \mathbb{R}^{m}\) jsou uzavřené obdélnı́ky a nechť \(f:A\times B\rightarrow \mathbb{R}\) je na obdélnı́ku \(A\times B\) integrabilnı́. Pro každé \(x\in A\) nechť \(g_{x}:B\rightarrow R\) je funkce definovaná vztahem \(g_{x}\left( y\right) =f\left( x,y\right)\) a nechť \[\begin{aligned} \mathcal{L}\left( x\right) &=&\underline{\int }_{B}g_{x}\left( y\right) dy=% \underline{\int }_{B}f\left( x,y\right) dy, \\ \mathcal{U}\left( x\right) &=&\overline{\int }_{B}g_{x}\left( y\right) dy=% \overline{\int }_{B}f\left( x,y\right) dy.\end{aligned}\] Potom jsou funkce \(\mathcal{L}\) a \(\mathcal{U}\) na obdélnı́ku \(A\) integrabilnı́ a platı́ \[\begin{aligned} \int_{A\times B}f &=&\int_{A}\mathcal{L}=\int_{A}\left( \underline{\int }% _{B}f\left( x,y\right) dy\right) dx, \\ \int_{A\times B}f &=&\int_{A}\mathcal{U}=\int_{A}\left( \overline{\int }% _{B}f\left( x,y\right) dy\right) dx.\end{aligned}\]

Poznámka. V praxi se často stává, že každá z funkcı́ \(g_{x}\) je integrabilnı́ a lze pak psát: \[\int_{A\times B}f=\int_{A}\left( \int_{B}f\left( x,y\right) dy\right) dx.\] Napřı́klad, pokud je funkce \(f\) na obdélnı́ku \(A\times B\) spojitá.

Důsledek. Jestliže \(A=\langle a_{1},b_{1}\rangle \times \ldots \times \langle a_{n},b_{n}\rangle\) je uzavřený \(n\)-rozměrný obdélnı́k a jestliže je funkce \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) spojit á na \(A\), pak \[\int_{A}fdV=\int_{a_{n}}^{b_{n}}\left( \ldots \left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x^{1},\ldots ,x^{n}\right) dx^{1}\right) \ldots \right) dx^{n}.\] Stejná rovnost platı́ kdykoliv zaměnı́me pořadı́ proměnných na pravé straně.

Příklad. Vyjádřeme integrál \[\begin{aligned} \int_{C}f\text{, kde }C &\subset &A\times B\text{ a kde} \\ C &=&\langle -1,1\rangle \times \langle -1,1\rangle \setminus \{\left( x,y\right) :|\left( x,y\right) |_{e}<1\}.\end{aligned}\]

Řešení. Podle definice je \[\begin{aligned} \int_{A\times B}fdV &=&\int_{A\times B}f_{C}dV=\int_{-1}^{1}\left( \int_{-1}^{1}f_{C}\left( x,y\right) dy\right) dx \\ &=&\int_{-1}^{1}\left( \int_{-1}^{-\sqrt{1-x^{2}}}f\left( x,y\right) dy+\int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx.\end{aligned}\]

Poznámka. Poznamenejme, že obecně je obtı́žné určit množinu \(C\cap \left( \{x\}\times B\right)\) pro každé \(x\in A\). Je-li jednoduššı́ určit množinu \(C\cap \left( A\times \{y\}\right)\) pro \(y\in B\), potom lze užı́t násobný integrál: \[\int_{C}f=\int_{B}\left( \int_{A}f_{C}\left( x,y\right) dx\right) dy.\]

Poznámka. Užitı́m fundamentálnı́ věty integrálnı́ho počtu a Fubiniovy věty lze dokázat tzv. Schwarzovu větu: Je-li \(f:U\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) funkce definovaná na otevřené množině \(U\), \(a\in U\), \(f\in C^{2}\left( U\right)\), pak \[ \frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( a\right) =\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( a\right) ,~a=\left( a_{1},a_{2}\right) ." \label{*3} \]

Důkaz. Zvolme obdélnı́k \(A=\langle a_{1}-\varepsilon ,a_{1}+\varepsilon \rangle \times \langle a_{2}-\delta ,a_{2}+\delta \rangle\) tak, aby \(% A\subset U\). Sporem dále předpokládejme, že rovnost ([*3] ) neplatı́ a napřı́klad je \[\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( a\right) -\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( a\right) >0.\] Dı́ky spojitosti parciálnı́ch derivacı́ druhého řádu lze pak bez újmy na obecnosti předpokládat, že pro jistou konstantu \(k>0\) je \[\inf_{\left( x,y\right) \in A}\left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) -\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}% \left( x,y\right) \right) \geq k>0.\text{ (Proč?)} \label{*5}\] Nynı́ užitı́m Fubiniovy věty a Newton-Leibnizovy formule, dostáváme: \[\begin{aligned} \int_{A}\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) dV &=&\int_{a_{1}-\varepsilon }^{a_{1}+\varepsilon }\left( \int_{a_{2}-\delta }^{a_{2}+\delta }\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) dy\right) dx \\ &=&\int_{a_{1}-\varepsilon }^{a_{1}+\varepsilon }\left\{ \left[ \frac{% \partial f}{\partial x}\left( x,y\right) \right] _{y=a_{2}-\delta }^{y=a_{2}+\delta }\right\} dx \\ &=&\int_{a_{1}-\varepsilon }^{a_{1}+\varepsilon }\left( \frac{\partial f}{% \partial x}\left( x,a_{2}+\delta \right) -\frac{\partial f}{\partial x}% \left( x,a_{2}-\delta \right) \right) dx \\ &=&\left[ f\left( x,a_{2}+\delta \right) -f\left( x,a_{2}-\delta \right) % \right] _{x=a_{1}-\varepsilon }^{x=a_{1}+\varepsilon } \\ &=&f\left( a_{1}+\varepsilon ,a_{2}+\delta \right) +f\left( a_{1}-\varepsilon ,a_{2}-\delta \right) \\ &&-f\left( a_{1}-\varepsilon ,a_{2}+\delta \right) -f\left( a_{1}+\varepsilon ,a_{2}-\delta \right) .\end{aligned}\] Analogicky počı́tejme integrál: \[\begin{aligned} \int_{A}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) dV &=&\int_{a_{2}-\delta }^{a_{2}+\delta }\left( \int_{a_{1}-\varepsilon }^{a_{1}+\varepsilon }\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) dx\right) dy \\ &=&\int_{a_{2}-\delta }^{a_{2}+\delta }\left[ \frac{\partial f}{\partial y}% \left( x,y\right) \right] _{x=a_{1}-\varepsilon }^{x=a_{1}+\varepsilon }dy \\ &=&\int_{a_{2}-\delta }^{a_{2}+\delta }\left( \frac{\partial f}{\partial y}% \left( a_{1}+\varepsilon ,y\right) -\frac{\partial f}{\partial y}\left( a_{1}-\varepsilon ,y\right) \right) dy \\ &=&\left[ f\left( a_{1}+\varepsilon ,y\right) -f\left( a_{1}-\varepsilon ,y\right) \right] _{y=a_{2}-\delta }^{y=a_{2}+\delta } \\ &=&f\left( a_{1}+\varepsilon ,a_{2}+\delta \right) +f\left( a_{1}-\varepsilon ,a_{2}-\delta \right) \\ &&-f\left( a_{1}+\varepsilon ,a_{2}-\delta \right) -f\left( a_{1}-\varepsilon ,a_{2}+\delta \right) .\end{aligned}\] Tedy \[\int_{A}\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) dV=\int_{A}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) dV. \label{*4}\] Nynı́ z ([*5]) a základnı́ch vlastnostı́ množné ho integrálu (Věta 43) vyplývá: \[\begin{aligned} 0 &=&\int_{A}\left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) -\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) \right) dV \\ &\geq &\left( \inf_{A}\left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}% \left( x,y\right) -\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) \right) \right) \mu _{J}\left( A\right) \\ &\geq &k\mu _{J}\left( A\right) >0,\end{aligned}\] což je spor. \(\Box\)

Cvičení. Na základě poznámky [rem 52] dokažte Větu [thm 21]. (Návod: Užijte pomocnou funkci \(i:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R% }^{m}\) definovanou předpisem \[i\left( u,v\right) =a+ue_{i}+ve_{j},\] kde \(e_{i}\) (resp. \(e_{j}\)) jsou \(i\)-tý (resp. \(j\)-tý) element standardnı́ báze aritmetického vektorového prostoru \(\mathbb{% R}^{n}\). Pak položme \(g=f\circ i\) a ukažte, že \[\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}g}{\partial v\partial u}\left( 0,0\right) &=&\frac{% \partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left( a\right) , \\ \frac{\partial ^{2}g}{\partial u\partial v}\left( 0,0\right) &=&\frac{% \partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left( a\right)\end{aligned}\] ).

Věta. (Věta o substituci). Nechť \(U\subset R^{n}\) je otevřená množina a \(g:U\rightarrow \mathbb{R}^{n}\) je bijekce, \(g\in C^{1}\left( U\right)\) a \(\forall x\in U\) je \(J_{g}\left( x\right) \neq 0\). Je-li pak funkce \(f:g\left( U\right) \rightarrow \mathbb{R}\) integrabilnı́ na množině \(g\left( U\right)\), potom \[\int_{g\left( U\right) }fdV=\int_{U}\left( f\circ g\right) |J_{g}|dV.\]

Důkaz. Důkaz provádět nebudeme.

Cvičení. Uvažujme zobrazenı́ \(f:\left( 0,\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) dané předpisem \[f\left( r,\theta \right) =\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) .\] (a) Ukažte, že zobrazenı́ \(f\) je bijektivnı́, vypočtěte Jakobiho matici \(\nabla f\left( r,\theta \right)\) a ověřte, ž e \[J_{f}\left( r,\theta \right) \neq 0~\forall \left( r,\theta \right) .\] Dále určete obor hodnot \(U=f\left( \left( 0,\infty \right) \times \left( 0,2\pi \right) \right) .\) (b) Je-li \(P=f^{-1}\), pak ukažte, že \[P\left( x,y\right) =\left( r\left( x,y\right) ,\theta \left( x,y\right) \right) ,\] kde \(r\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) a \[\theta \left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} arctg\left( y/x\right) & \text{pro} & x>0,y>0 \\ \pi +arctg\left( y/x\right) & \text{pro} & x<0 \\ 2\pi +arctg\left( y/x\right) & \text{pro} & x>0,y<0 \\ \pi /2 & \text{pro} & x=0,y>0 \\ 3\pi /2 & \text{pro} & x=0,y<0.% \end{array}% \right.\] (Zde \(arctg\) značı́ funkci inverznı́ k funkci \(tg:\left( -\pi /2,\pi /2\right) \rightarrow \mathbb{R}\).) Dále pak najděte \(\nabla P\left( x,y\right)\). (c) Ať \(C\subset U\) je obrazec omezený kružnicemi o polomě rech \(r_{1}\), \(r_{2}\) a polopřı́mkami vycházejı́cı́mi z počátku svı́rajı́cı́mi orientované úhly o velikostech \(\theta _{1}\), \(\theta _{2}\) s kladnou poloosou \(x\). Je-li nyn ı́ \(h:C\rightarrow \mathbb{R}\) na množině \(C\) integrabilnı́ funkcı́ a \(h\left( x,y\right) =g\left( r\left( x,y\right) ,\theta \left( x,y\right) \right)\), ukažte že pak \[\int_{C}hdV=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\int_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}rg\left( r,\theta \right) d\theta dr.\]

Je-li \(B_{r}=\{\left( x,y\right) :x^{2}+y^{2}\leq r^{2}\}\), pak ukažte, že \[\int_{B_{r}}hdV=\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi }rg\left( r,\theta \right) d\theta dr.\]